三角形内角平分线定理的证明过程(角平分线性质定理及性质)

初中几何经常会遇到题目中给出角平分线的问题，解题目标往往是边长之间关系。

其实这类问题的解题方向非常明确，角平分线与边长相关的性质比较常用的只有三个，其中角平分长公式可以不掌握，也就是把角平分线的两个性质用活就行。这里按重要性程度的顺序总结一下。

定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

定理1的逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

这个证明是非常简单直观的。

在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线。那么过D做AB和AB的垂线，垂足分别为E和F。

因为∠BAD=∠CAD（角平分线），∠AED=∠AFD=90°，AD=AD

那么△AED与△AFD全等，于是有DE=DF。证毕。

同理，也通过证明三角形全等证明其逆定理。

定理2：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则AB/BD=AC/CD（也可表示为AB/AC =BD/CD）。

定理2的逆定理： 在△ABC中，若 AB/BD=AC/CD，则AD是∠BAC的平分线。

这个定理的描述非常简单优美，证明需要一点小技巧。

证明：

在△ABC中，AD是∠BAC的平分线

过点D作DE⊥AB，DF⊥AC

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF

∵2S△ABD=AB×DE且2S△ACD=AC×DF

∴S△ABD：S△ACD=AB：AC

又∵S△ABD：S△ACD=BD：CD（同高，面积比例为底边比例）

∴S△ABD:S△ACD=AB：AC=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

定理3：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则AD²=AB×AC-BD×CD（角平分线长公式）

这个定理的证明方法超出中学阶段教材的内容范畴，有兴趣的可以去研究一下几何中著名的斯特瓦尔特定理，根据斯特瓦尔特定理和角平分线的性质可以证明。